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std::legendre, std::legendref, std::legendrel

定义于头文件 <cmath>
double      legendre( unsigned int n, double x );

float       legendre( unsigned int n, float x );
long double legendre( unsigned int n, long double x );
float       legendref( unsigned int n, float x );

long double legendrel( unsigned int n, long double x );
 (1) (C++17 起)
double      legendre( unsigned int n, IntegralType x );
 (2) (C++17 起)
1) 以参数 x 计算 n 次非关联勒让德多项式
2) 接受任意整数类型参数的重载集或函数模板。等价于将参数转型到 double 后的 (1) 。

参数

n - 多项式的次数
x - 参数，浮点或整数类型的值

返回值

若无错误发生，则返回 x 的 n 阶非关联勒让德多项式的值，即
1
2n
n!
dn
dxn
(x2
-1)n
 。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误

  • 若参数是 NaN ，则返回 NaN 且不报告定义域错误
  • 不要求函数对 |x|>1 有定义
  • 若 n 大于或等于 128 ，则行为是实现定义的

注解

不支持 C++17 ，但支持 ISO 29124:2010 的实现会提供此函数，若实现定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的一种实现亦可用于 boost.math

前几个勒让德多项式是：

  • legendre(0, x) = 1
  • legendre(1, x) = x
  • legendre(2, x) =
    1
    2
    (3x2
    -1)
  • legendre(3, x) =
    1
    2
    (5x3
    -3x)
  • legendre(4, x) =
    1
    8
    (35x4
    -30x2
    +3)

示例

运行此代码
#include <cmath>
#include <iostream>
double P3(double x) { return 0.5*(5*std::pow(x,3) - 3*x); }
double P4(double x) { return 0.125*(35*std::pow(x,4)-30*x*x+3); }
int main()
{
    // 点检查
    std::cout << std::legendre(3, 0.25) << '=' << P3(0.25) << '\n'
              << std::legendre(4, 0.25) << '=' << P4(0.25) << '\n';
}

输出： 

-0.335938=-0.335938
0.157715=0.157715

参阅

(C++17)(C++17)(C++17)
 拉盖尔多项式
(函数)
(C++17)(C++17)(C++17)
 埃尔米特多项式
(函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “勒让德多项式”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource 。