std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

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定义于头文件 `<cmath>`
double assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, double x ); float assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, float x ); long double assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, long double x ); float assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x ); long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );	(1)	(C++17 起)
double assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, IntegralType x );	(2)	(C++17 起)

1) 以参数 x 计算 n 次 m 阶关联勒让德多项式

2) 接受任何整数类型参数的重载集或函数模板。等价于将参数转型到 double 后的 (1) 。

参数

n	-	多项式的次数，无符号整数值
m	-	多项式的阶数，无符号整数值
x	-	参数，浮点或整数类型值

返回值

若无错误发生，则返回 x 的关联勒让德多项式

P m n

的值，即

(1-x 2) m/2 d m dx m P n (x)

（其中

P n (x)

是非关勒让德多项式 std::legendre(n, x) ）。

注意此定义忽略 Condon-Shortley 相位项 $(-1)^m$ $(-1) m$ 。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误。

若参数是 NaN ，则返回 NaN 且不报告定义域错误
若 $|x| > 1$ ，则可能出现定义域错误
若 n 大于或等于 128 ，则行为是实现定义的。

注解

不支持 C++17 ，但支持 ISO 29124:2010 的实现会提供此函数，若实现定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现，在头文件 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的一种实现亦作为 boost::math::legendre_p 可用于 boost.math ，除了 boost.math 定义包含 Condon-Shortley 相位项。

前几个关联勒让德多项式是：

assoc_legendre(0, 0, x) = 1
assoc_legendre(1, 0, x) = $x$
assoc_legendre(1, 1, x) = $(1-x 2) 1/2$
assoc_legendre(2, 0, x) = $12 (3x 2 -1)$
assoc_legendre(2, 1, x) = $3x(1-x 2) 1/2$
assoc_legendre(2, 2, x) = $3(1-x 2)$

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
double P20(double x) { return 0.5*(3*x*x-1); }
double P21(double x) { return -3.0*x*std::sqrt(1-x*x); }
double P22(double x) { return 3*(1-x*x); }
int main()
{
    // 点检查
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

输出：

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

参阅

legendrelegendreflegendrel (C++17)(C++17)(C++17)	勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “关联勒让德多项式”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource 。

dm
dxm